Goldener Schnitt

Beim Goldenen Schnitt (lateinisch: sectio aurea) oder auch bei der Goldenen Teilung – seltener beim Göttlichen Schnitt oder bei der Göttlichen Teilung (lateinisch: proportio divina) – entsteht ein bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Zahlen oder zwei Größen.

Dieses Verhältnis ist die Goldene Zahl Φ (Phi) (oder das Goldene Verhältnis oder das Göttliche Verhältnis) und hat den Wert

\Phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Zum Beispiel stehen zwei Teile einer Strecke im Verhältnis Φ, wenn sich der größere zum kleineren Teil verhält wie die ganze Strecke zum größeren Teil.

Streckenverhältnisse wie beim Goldenen Schnitt werden seit der griechischen Antike als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Sie werden als ideale Proportionen in Kunst und Architektur angewendet, kommen aber auch in der Natur vor. Das Goldene Verhältnis ist häufig bei der Bildkomposition in der Malerei zu finden und wird heute oft in der Photographie verwendet. Es zeichnet sich durch eine Reihe besonderer mathematischer Eigenschaften aus.

Umgangssprachlich wird Goldener Schnitt auch für die Goldene Zahl beziehungsweise für das Goldene Verhältnis gebraucht.

 

Definition und elementare Eigenschaften

Das Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt sich daher stets in ein kleineres, ebenfalls Goldenes, und ein Quadrat zerlegen (animierte Darstellung).

 

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Zwei reelle Zahlen a > b > 0, zum Beispiel die Längen zweier Strecken, stehen genau dann im Verhältnis des Goldenen Schnitts, wenn die Gleichung

\frac{a}{b}= \frac{a+b}{a}

gilt. In Worten bedeutet dies, dass sich die größere zur kleineren verhält wie die Summe aus beiden zur größeren. Diese Eigenschaft ist ein Beispiel von Selbstähnlichkeit: Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine noch kürzere Strecke a - b, zu der die mittlere Strecke b wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht, also

\frac{b}{a-b} = \frac{a}{b}.

Die Goldene Zahl ist definiert als \Phi:=\frac{a}{b}. Sie hat den Wert

\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618     (siehe Herleitung des Zahlenwertes)

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

 

Geschichte

Antike

Dem Pythagoreer Hippasos von Metapont, der im späten 6. und frühen 5. Jahrhundert v. Chr. lebte, werden u. a. die Entdeckung der Inkommensurabilität und die Konstruktion des einer Kugel einbeschriebenen Dodekaeders zugeschrieben. Ob er die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale an einem Quadrat oder an einem regelmäßigen Fünfeck (ein Dodekaeder wird von 12 regelmäßigen Fünfecken begrenzt) entdeckte, ist nicht überliefert.[4] Ein geometrischer Beweis der Inkommensurabilität kann am Fünfeck geführt werden, weil das Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale irrational ist, also nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellbar ist. Zwei Größen stehen dabei im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

In der älteren Forschung wurde angenommen, die Pythagoreer seien der Überzeugung gewesen, dass sich die gesamte Wirklichkeit vollständig durch ganzzahlige Zahlenverhältnisse beschreiben lasse. Daher habe die Entdeckung der Inkommensurabilität bei ihnen eine Grundlagenkrise der Mathematik bzw. der Philosophie der Mathematik ausgelöst. Eine Legende berichtet, Hippasos habe seine Entdeckung veröffentlicht und sei daraufhin aus der Gemeinschaft der Pythagoreer ausgeschlossen worden. Später sei er im Meer ertrunken, was als göttliche Strafe für seinen Frevel gedeutet wurde. Nach heutigem Forschungsstand ist die Legende völlig unglaubwürdig. Die Entdeckung der Inkommensurabilität und ihr Bekanntwerden löste keine Krise aus, sondern galt als Errungenschaft der Pythagoreer.[5]

Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt von Euklid (um 300 v. Chr.), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.

 

Mittelalter

Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Fibonacci-Zahlen am Rand der „Kaninchenaufgabe“

 

In seinem Rechenbuch Liber abbaci (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auch auf die später nach ihm benanten Fibonacci-Folge zu sprechen, und zwar im Zusammenhang mit der sogenannten Kaninchen-Aufgabe, in der zu errechnen ist, wie viele Kaninchenpaare bei einer Fortpflanzungsrate von einem Paar Jungkaninchen pro Elternpaar und Monat nach Ablauf eines Jahres insgesamt vorhanden sind, wenn ein erstes Paar bereits im ersten Monat und dessen Nachwuchs jeweils ab seinem zweiten Lebensmonat Junge wirft.[6] Leonardo führt die Zahlen für jeden Monat vor (2, 3, 5, 8 ... bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht. Dass ihm auch der Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es darum geht (in moderner Formulierung wiedergegeben)[7] a und b zu finden mit 10 = a + b und \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \sqrt{5}. Hierzu weist Leonardo darauf hin, dass im Fall von a > b die Proportion 10:a = a:b gilt, 10 also von a und b im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt wird ("et scis, secundum hanc diuisionem, 10 diuisa esse media et extrema porportione; quia est sicut 10 ad maiorem partem, ita maior pars ad minorem").[8]

 

Renaissance

Einen Zusammenhang zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt stellte Leonardo jedoch noch nicht her: Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert Φ ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch in jüngerer Zeit auch schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:[9]

 

Sit linea ab 233 pedum, divisa ut docet 11 huius in duo inaequalia in puncto h et sit bh portio eius maior 144 et ha portio eius minor 89. ducatur ab in ha et perveniunt 20737 et bh in se et perveniunt 20736. et sic cognosces quod in mutationibus non est laborandum quid impossibile est numerum ita dividi ut ista 11 proponit. similiter accidit si linea 13 pedum dividatur in lineam 8 pedum, et lineam 5. ["Eine Gerade ab von 233 Fuß sei so, so wie es Theorem 11 hier vorführt, an einem Punkt h in zwei ungleiche Teile geteilt, und dabei sei bh sein größerer Teil mit 144 und ha sein kleinerer Teil mit 89. ab sei multipliziert mit ha, und es ergeben sich 20737, und bh multipliziert mit sich selbst, so ergeben sich 20736. Und daran magst du erkennen, dass man sich nicht mit Ersetzungen abzumühen braucht um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl so zu teilen wie es hier Theorem 11 vorführt. Das gleiche ergibt sich, wenn eine Gerade von 13 Fuß in eine Gerade von 8 und eine von 5 Fuß geteilt wird."]

Der vitruvianische Mensch, Leonardo da Vinci, 1492, Proportionsstudie nach Vitruv

 

Auch der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität von Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung Göttliche Teilung, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk „De Divina Proportione“ von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis von Quadratseite zu Kreisradius in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde man diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht erwarten.

Die erste bekannte Berechnung [10] des Goldenen Schnitts als „ungefähr 1,6180340“ schrieb der Tübinger Professor Michael Maestlin 1597 in einem Brief an seinen früheren Schüler Johannes Kepler.

 

19. und 20. Jahrhundert 

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19. Jahrhundert, insbesondere von dem Philosophen Adolf Zeising[11], wurden diese beiden Schriften zu der These kombiniert, Pacioli hätte in der „De Divina Proportione” in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci einen Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt hergestellt und damit seine Wiederentdeckung für die Malerei der Renaissance begründet. Zeising war von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse. Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnitts. Andererseits zeigt eine Untersuchung der Literatur, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten.

Die Bezeichnung Goldener Schnitt wurde erstmals 1835, nur wenige Jahre zuvor, von Martin Ohm (1792–1872; Bruder von Georg Simon Ohm) in einem Lehrbuch der Mathematik verwendet.[12] Auch die Bezeichnung sectio aurea entstand erst in dieser Zeit.

Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.[13] Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.

Der rumänische Diplomat Matila Ghyka verband in seinen Schriften Esthétique des Proportions (1927) und Le nombre d'or (1931) den religiösen Aspekt von Pacioli mit dem ästhetischen von Zeising. Er interpretierte den Goldenen Schnitt als fundamentales Geheimnis des Universums und führte dazu vor allem Beispiele in der Natur an.

Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren.[14][15]

 

Quelle: Wikipedia

 

Beispiele Goldener Schnitt in der Architektur und Kunst

Antike Architektur
Schon in der Antike haben die Griechen den Goldenen Schnitt in ihren Bauten verwandt. So z.B. bei dem Parthenontempel in Athen. Der Säuleneingang des Tempels stellt ein goldenes Rechteck dar, d.h. ein Rechteck, dessen Seitenlängen das Proportionsverhältnis des Goldene Schnitts abbilden. Ebenso verhält sich die Höhe bis zum Dach zur Höhe der Säulen wie der Goldene Schnitt. Selbst in den den Ornamenten über den Säulen findet sich das Prinzip des Goldenen Schnitts wieder.

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Moderne Architektur
Der Marseiller Wohnblock Unité d'Habitation von 1947 verdeutlicht ganzheitlich die Theorien Le Corbusiers über Städteplanung und Wohnen. Er stellt eines der wichtigsten soziologischen und architektonischen Ergebnisse des 20. Jahrhunderts dar. In seinem Werk verwendete Le Corbusier (1887 -1965) bewusst den Goldenen Schnitt.


Mona Lisa


Mona Lisa
Leonardo da Vinci hat bei seinem Bildnis der Mona Lisa den Goldenen Schnitt als Gestaltungshilfe verwendet. Dieses ist als Goldenes Dreieck aufgebaut, also einem gleichschenkligen Dreieck, dessen Schenkel sich zur Basis nach dem goldenen Schnitt verhalten.


Mona Lisa

 

 

 

 

 

 

Quelle: www.arttheorem.de

 

 

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